一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 ，若 ，则有（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ 成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．设函数 的定义域是 ，那么函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．复平面上点 分别对应复数 ，将向量 绕点 逆时针旋
转 ，得向量 ，则点 对应的复数 为（ ）
A． B． C． D．
6．M为抛物线 上一动点， 为抛物线焦点，定点 ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．圆台上、下底面面积分别为 和 ，平行于底面的截面圆面积为
，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）
A．3：1 B．1：2 C．2：1 D．1：3
8．直线 绕它与 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．若 的图象过点（3，1）， 的反函数 的图象过点
（0，2），则 和 的值顺次为（ ）
A． B． C．2，3 D．2，1
10． 向 轴负方向平移 后得到 的图像，则 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
11． 等于（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．
12．已知直二面角 ，直线 ，直线 ，且 与 均不垂直，那么直线 和 的关系为（ ）
A． 和 不可能垂直，也不可能平行
B． 和 不可能垂直，但可能平行
C． 和 可能垂直，但不可能平行
D． 和 可能垂直，也可能平行
13．已知 ，向量 与 的夹角为 ，则 =（ ）
A．40 B．20 C．30 D．10
14．直线 （ 是参数）与圆 （ 是参数）相切，则直线的倾斜角 为（ ）
A． B． C． D．
15．任意抛掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
16．若函数 在区间 上的最大值是3，最小值是2，则 的取值范围是 。
17．已知 中， ，那么 的展开式中，中间两项依次是 。
18．在4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，由这4张卡片组成个位数字不是2，百位数字不是3的四位数有 个。
19．P为椭圆 上一点，它到椭圆的右焦点距离为4，那么它到椭圆的左准线的距离为 。
三、解答题（本大题共5题，共59分，解答应写出推理、演算步骤）
20．（本小题满分11分）
用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 角，再焊接而成（如下图），问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P—ABC中， ， ，平面 ．
（1）求证：平面 ．
（2）若 ，求三棱锥P—ABC的体积．
22．（本小题满分12分）
在数列 中，已知 ，设 ．
（1）证明数列 是等比数列．
（2）求数列 的通项公式．
23．（本小题满分12分）
已知椭圆 的右焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线 交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M，直线AB与OM的夹角为 ，且 ，求椭圆的离心率 的值．
24．（本小题满分12分）
已知
（1）指出函数的奇偶性，并加以证明．
（2）求证：对函数定义域内的任何 ，恒有 ．
参考答案
一、 选择题
1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A
9．D 10．A 11．C 12．B 13．D 14．A 15．C
二、 填空题
16． 17． 18．14 19．10
三、 解答题
20．解 设水箱底边长为 ，则水箱高（单位：cm）
．
水箱容积（单位：cm3）
．
由问题的实际情况来看，如果 过小，水箱的底面积就很小，容积 也就很小；如果 过大，水箱的高就很小，容积 也就很小，因此，其中必有一适当的 值，使容积 取得最大值．求 的导数，得
．
令 ，即 ，解得
（不合题意，舍去），
．
当 在（0，60）内变化时，导数 的正负如下表：
（0，40） 40 （40，60）
＋ 0 －
因此在 处，函数 取得极大值，并且这个极大值就是函数 的最大值．将 代入 ，得最大容积
21．证（1） 平面 平面 ，
平面 ，
又 ， 平面PBC
由于 平面PAB
平面 平面 ．
解（2）过P作 交AC于D，则 平面
由 ，知 ， ，
22．解（1）显然
由
得
即
数列 是一个以 为首项，以3为公比的等比数列．
（2）由（1）知
这就是求的数列 的通项公式．
23．解 设椭圆的右焦点为 ，其中 ，直线的AB方程为
由 消去 并整理，得
，
设两交点 ， ， ，则
由已知 及 得
解得 或
由于 ，
所以
故 ．
24．解 （1） 的定义域为
又
是偶函数．
（2）当 时， ，所以 ．
当 时，由 是偶函数，所以也有 ．
总之，对一切 恒有 ．
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